ANALISI MATEMATICA I

Lo studente acquisirà i principali concetti dell’Analisi Matematica e sarà guidato a collegarli a concetti appresi in altre discipline. Apprenderà le principali nozioni dell’Analisi Matematica.

In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità di comprensione: lo studente familiarizzerà con nozioni di teoria degli insiemi astratti. Poi con l’insieme dei numeri reali e la sua struttura e comprenderà la motivazione di tanti procedimenti che probabilmente, nei suoi studi precedenti, aveva appreso in modo meramente tecnico. Sarà in grado, a questo punto, di comprendere il concetto di limite e di giustificare le principali proprietà dei limiti, per funzioni di una variabile reali. Imparerà a riconoscere le principali proprietà analitiche di una funzione e riuscire a studiare una funzione. Concetti di Algebra lineare verranno forniti.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma riuscirà a collegarli e sarà condotto, in particolare, a riflettere sulle proprietà di struttura che stanno alla base dei vari argomenti studiati. Potrà, inoltre, esercitare la propria capacità di utilizzare le proprie conoscenze in situazioni diverse da quelle in cui sono state presentate: ad esempio, sarà invitato a dimostrare autonomamente dei risultati simili a quelli studiati, e a svolgere numerosi esercizi di applicazione dei teoremi studiati. Ciò avverrà attraverso esercitazioni guidate in classe e attraverso esercizi – sia manipolativi che dimostrativi – che gli saranno proposti per lo studio individuale.

Autonomia di giudizio: lo studente potrà studiare degli argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a confrontare il linguaggio usato in diversi libri. Imparerà a riconoscere alcuni errori comuni durante le esercitazioni guidate. Potrà inoltre confrontarsi criticamente con gli altri studenti durante le ore di tutorato per individuare le soluzioni più corrette.

Abilità comunicative: attraverso l’ascolto delle lezioni e la lettura dei libri consigliati, lo studente familiarizzerà con il linguaggio matematico. Mediante le esercitazioni guidate, apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per acquisire la mentalità matematica.

Capacità di apprendimento: lo studente sarà guidato ad acquisire un metodo di studio che gli permetta di accostarsi ad un argomento nuovo riconoscendo subito quali sono i prerequisiti necessari. Svilupperà, inoltre, le capacità di calcolo e di manipolazione degli oggetti matematici studiati.

nessuna propedeuticità. I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Il corso sarà supportato da attività integrative e tutorato.

fortemente consigliata

Insiemi. Introduzione. Terminologia e simboli. Altri simboli. Primi elementi di Teoria degli Insiemi. Nozione di Insieme. Rappresentazione degli Insiemi. Universo, Insieme vuoto. Relazioni tra Insiemi. Operazioni Booleane. Intersezione. Unione. Differenza. Differenza Simmetrica. Differenza complementare. Complemento. Il Complemento dell?unione. Identità booleane. Equivalenze. Implicazioni. Leggi di De Morgan. Relazioni tra la Differenza simmetrica e Complemento. Leggi di associatività degli operatori booleani. Algebre booleane di insiemi. Esempi. Insiemi Numerici. Introduzione. Gli operatori. Numeri Naturali. Assiomi dei Numeri Reali. I sottoinsiemi di R. Insieme dei numeri Naturali. Vettori applicati dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore. Componenti di un vettore e prodotto scalare.

Insieme dei numeri interi relativi. Insieme dei numeri razionali. Le operazioni permesse in N, Z,Q . Operazioni sui numeri naturali. Operazioni sui numeri interi relativi. Operazioni sui numeri frazionari. N, Z, Q non soddisfano l'assioma di completezza. Non soddisfare l'assioma di completezza cosa comporta. Rappresentazione degli insiemi numerici. Rappresentazione dei numeri interi, interi relativi e frazionari. Rappresentazione dei numeri frazionari. Retta e Numeri Reali. Intervalli sulla retta. Intervalli limitati. Intervalli illimitati. Intorno di un punto . Massimi e minimi di un insieme numerico . Massimo di un insieme numerico. Minimo di un insieme numerico. Maggiorante e minorante di un insieme numerico . Insiemi limitati . Estremi di un insieme numerico . Estremo superiore. Estremo inferiore. Esempi.Insiemi numerici di coppie ordinate . Prodotto Cartesiano .

Elementi di algebra matriciale. Determinanti e matrici inverse. Matrici trasposte. Trasformazioni lineari . Equazioni lineari .Geometria piana. Rappresentazioni analitiche della retta. Parallelismo, ortogonalità di due rette e angolo tra due rette. Distanza tra due punti. Distanza di un punto da una retta. Sistemi di equazioni lineari. Matrici. Determinanti. Proprietà dei determinanti. Caratteristica di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer.

Funzioni. Applicazione o Funzione . Grafico di una funzione. Funzione Iniettiva. Funzione Suriettiva. Funzione Biiettiva. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni Monotone. Funzioni limitate. Punti di massimo e minimo assoluto. Punti di massimo e minimo relativi.Composizione di funzioni . Casi Patologici. Esempi di funzioni Funzioni lineari. Funzioni identità.
Funzioni Quadratiche. Funzione modulo o valore assoluto. Funzione segno di x. Funzione parte intera di x. Funzione floor o funzione pavimento. Funzione Heavyside.


Funzioni Trigonometriche . Funzione esponenziale. Funzione Logaritmica. Il numero di Nepier "e". Funzione inversa .Operazioni tra funzioni . Quattro casi interessanti. Successioni e Serie Numeriche.
Successioni . Successioni Monotone. Concetto di Limite . Punto di Accumulazione. Punti di Accumulazione particolari. Funzioni limitate e non limitate. Limiti di successioni. Successioni infinitesime ed infinitamente grandi. Teoremi sui limiti di successioni . Successioni Estratte. Operazioni sui limiti delle successioni .Serie Numeriche .Serie a termini non negativi. Serie a termini positivi. Serie a termini di segno alterno. Limiti e Continuità delle funzioni. Limiti delle funzioni . Definizione di limite. Operazioni sui limiti. Teoremi sui limiti delle funzioni .Continuit´a di una funzione . Continuità nel punto. Continuit´a nell?intervallo . Operazioni tra funzioni continue . Funzioni Uniformemente Continue. Proprietà delle funzioni continue .Punti di discontinuit´a delle funzioni . Punti di discontinuità eliminabile. Funzione monotone. Infinitesimi ed infiniti . Ordine degli infinitesimi ed infiniti.

Infinitesimi e infiniti. Teoremi.Derivate delle funzioni. Concetto di derivata . Interpretazione geometrica della derivata. Punti angolisi e cuspidali. Primi esempi di derivate. Derivate Fondamentali. Regole di Derivazione. Derivate delle funzioni composte. Esempi di derivate delle funzioni composte. Differenziale. Teoremi del calcolo differenziale . Funzioni a derivata nulla. Funzioni Primitive. Limiti di forme indeterminate . Regola di l'Hopital - Esempi. Asintoti dei diagrammi. Funzioni crescenti e decrescenti. Derivate di ordine superiore .Massimi e minimi di una funzione. Massimi e minimi relativi di una funzione. Massimi e minimi assoluti di una funzione. Teorema di Waiestrass. Concavità. Convessità. Flessi. Formula di Taylor .

Integrali. Misurabilità. Integrale definito. Proprietà degli integrali definiti. Estensione del Concetto di integrale. Funzioni integrali e funzioni primitive. Integrali Indefiniti. Integrali indefiniti immediati. Metodi di integrazione indefinita. Integrazione per decomposizione e somma. Integrazione di funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Applicazione al calcolo di aree. Integrali impropri.

G. Emmanuele - Analisi Matematica 1 - Pitagora Editrice, Bologna.

G. De Marco, C. Mariconda - Esercizi di Analisi 1 - Zanichelli, Bologna.

P. Marcellini, P. Sbordone - Esercitazioni di Matematica I - Liguori Editore, Napoli.